林 建
一千年後．．．．
「凱莉公式」R = 2p - 1 是一個非常簡單的數學公式，最初是用於「買一賠一」的賭博上。公式中的p代表每個賭局的獲勝機會，R代表每局的投注比例。例如你有p=53% 贏面，而你的資金有$1000，由於 R=6%，你便用6%的資金 ( = $60 )下注。
假如你在每一賭局中，投注額都維持R這個比例，你在長期參與賭局時，就可以得到最大的預期複合增長率 (expected compound growth rate)
【以凱莉公式操盤】
MIT數學系的索普（Thorp）教授得悉了不去這個公式後，把它廣泛地應用在多個與機會有關的賭博上。他組織了一個MIT隊伍，大規模地進軍21點賭局，把自己的經歷，寫入 Beat the Dealer 這本名著中。其後，又與一位年輕的電腦博士合作，參加有關球賽 ／ 運動的博彩。電腦博士提供勝算較高的博彩法，而索普則利用「凱莉公式」來操盤，調節每次的下注額。
跟據索普於1997年在一次學術會議上發表的文章中透露，他們以五萬美元作為資本，參加了101次的賭局，連本帶利共得$68,000，其複式增長率，達到了凱莉公式以增長為本的要求。其實把凱利公式，應用在賭局上，在香港亦大有人在。照筆者的了解，本港就有職業賭馬集團，利用程式下注，而且每場下注的注碼，都是以凱莉公式作為指導。
如果「凱莉公式」的應用只是局限於賭博的話，這個公式肯定不會這樣知名。在1996年的文章，索普把這個以增長為本的方法，應用到股票市場的投資，得到一個推廣了的「凱莉公式」: R=m/s2。
股市投資跟在賭場的博彩有一個基本上的不同。在賭大細時，你下注 $100，可以全輸，回報率為 -100%，或可以贏得 $100，回報率為 + 100% 。但在股票市場投資的回報率就不同了，回報率可以是任何數目，借用統計學的語言，回報率有一個連續的分佈。在投資學裏，投資者會有興趣知道股票的額外回報率（= 股票回報率 - 無風險回報率）。實証的數據指出，很多時候，額外的複合回報率，會服從於一個正態分佈。
例如當m=3%，s = 20% 時，R = 75%。
換句話說，當你的資金為 $10,000 時，你可以用 $7,500 投資於此股票。
讀者或者會問，要決定在風險資產及無風險資產間的投資比例，我們不是應該採用馬可維茲 Markowitz 的組合理論嗎？在Markowitz的組合理論裏，我們可以計算出 efficient frontier 有效邊界，位於此邊界的組合，就能把夏普比率（Sharpe ratio）極大化，而夏普比率的定義是Sharpe-ratio = m/s，跟凱莉公式中的m / s2 ，有佷大的分別。
另外一個問題是：假如一只股票的額外年回報為m=10%，而s=20%，那麼R=250%，如果你有100萬元現金投資，你應借150萬元並購買價值250萬元的股票！換言之，這是一項非常高槓桿(leverage)的投資。在Markowitz的理論底下，這樣高的槓桿比率是不可思議的。那麼是Markowitz 理論出了問題，還是凱莉公式出了問題呢？
其實兩者的分別，是單時段投資與多時段投資的分別，也是靜態跟動態的分別。以額外年回報率m=10%為例， Markowitz 理論看的是一年內的投資表現。凱莉公式的著眼點，可以是一千年後（因為公式把在一個長時期的增長率極大化），但在一千年後，誰又能保証這只股票的期望回報率仍然保持在10% 的水平？一千年後，股票市場還存在與否，也是一個未知數呢！
譬如說，一個對沖基金的策略，在早期可以有較高的 m 值，但隨著時間的推移，新的競爭者會拖低他的 m 值，所以 m 值有被高估的可能。另外，凱莉公式只著眼於長期的高增長，而未有顧及較短期的回撤（drawdown）。
推廣Kelly有功的索普教授，後來就憑著他精湛的數學技巧，成為了一個出色的對沖基金經理，據說已故影星保羅紐曼，都曾是他名下基金的忠實客戶呢！
註： 轉載自信報「數裏見真章」。作者楊良河博士為香港大學統計及精算學系副教授，林建教授為香港浸會大學榮休教授及國信證券(香港)資產管理有限公司顧問。