林 建
也可以是正的．．．．
前數週本欄介紹了凱莉公式，比較集中於它在賭局的應用，本週會集中介紹它怎樣可以指導在金融市場的投資。我們曾把組合理論之父馬可維茲（Markowitz）比喻為名門正派的掌門人物，而把推廣凱莉公式的索普 （Thorp） 比喻為東邪黃藥師，有朋友閱後不以為然：『可能西毒歐陽鋒更為合適呢？』但其實西毒所練的是邪功，最後走火入魔。但索普捨棄了把凱莉公式應用於21點賭局後，卻搖身一變成為一個成功的基金經理。
已故的影星保羅紐曼就曾問他為什麼不繼續他的賭局呢？索普回答說：『 我在賭桌一年可賺 30萬美元，但在紐約交易所的股票及期權交易，我每年可賺 600萬，又不用擔心被賭場大享威嚇 ／ 追殺，何樂而不為呢。』
凱莉投資法是一個適合於多時段（ Multi-period ）的動態投資法：如果投資者有一個比較高回報的投資方法的話，隨著時間的推移，投資者應把投資額與總資金的比例，維持於一個固定的數值，而且可以優化這個數值，使得投資者的資產，有最大的增長速度。換句話說，具正回報的策略配上投資額度的優化，就是高增長的兩個構成元素。
如果該比例是50%，你用 $20,000買入200股，明天你的資產為 $20,000+$80*200=$36,000如果你要維持50%的投資額度，用資金的一半(=$18000) 去投資，因此你要持有225股 (即要再買入25股)，到了後天，你的資產淨值為$18,000+$100*225=$40,500，錄得$500的淨利潤，回報率為1.25%！其實這個正回報應該不是意外，因為今天$100跌至明天的$80，回報率是 -20%但從$80升回$100， 回報率是25%，平均回報率為2.5%。
另外，讀者們也可以考慮股價由 $100先升至$120，再跌回 $100時，最優的投資額度仍然是50%，但利潤卻縮減至$333。讀者們也可以驗証一下，以上的方法是預留現金，在股價下跌時增持股票，而當股價上升時，反而要減持；當市況沒有大的趨勢時，這個做法是充滿投資智慧的。
下面我們以盈富基金 (股票編號 2800) 的股價來重新驗証一下。本週一（3月14日）盈富以 $23.5收市。回首金融海嘯之前，此股於 2007年 7月 31日也以 $23.5收市。三年多後，股價在原地踏步。
如昔日以$10,000投資此股，上週末也是打回原形，在最低潮時(2009年３月9日)，資金只剩下 $4,987 。但如果我們用凱莉投資法，以50%資金作為投資額度, 那麼2007年的$10,000，到本週一，可增值至$10,537，而資產一直不低於$7335。以上的計算，當然還有很多不足之處: 例如我們忽略了股息，也沒有考慮重整組合時的交易費用（註：可以每月或每季才重整一次，以減輕此費用）；我們只是用這例子來說明問題而已。
例如我們可以用這個例子說明：
任何介乎於50%-100%的凱莉投資額度，無論是回報或是回撒（drawdown），在這個時段內都優於全攻型的 100% 投資額度。
以上的投資法，有一個死穴：就是最優的投資額度為何，要事後才能得悉，但這是不設實際的。要解決這個疑慮，索普就曾推出公式 ( R = m / s2 )，可預測最優的投資額度：投資者要對每天回報率的平均數（=m）及標準差（=s）有一定的掌握，然後代入公式，便可知投資額度是多少了。
使用此公式時應注意的事項, 下期再續。
註： 轉載自信報「數裏見真章」。作者楊良河博士為香港大學統計及精算學系副教授，林建教授為香港浸會大學榮休教授及國信證券(香港)資產管理有限公司顧問。