劉江華落敗的博弈論

林  建
六人之中必有一人出局,其他人
只是陪跑....

不厭老生常談,重溫一下田忌賽馬的故事。田忌三匹馬的能力和齊威王的三匹相差不多,但卻都輸了一點。孫臏就提議田忌採取以下策略︰「以上駟對王之中駟,以中駟對王之下駟,以下駟對王之上駟。」田忌依這策略排陣,取得二勝一敗的佳績,贏得賭注千金。

以上故事,其實是博弈論(game theory)的最佳範例。在博弈論中,雙方對奕賽果當然和雙方實力有關,但也決定於雙方策略。

齊威王的馬,實力較佳︰如果上、中、下馬各自「隻揪」(上對上、中對中、下對下),戰果是三比零,齊威王勝。

齊威王驕傲起來,就不重視策略了,把出陣次序公開,這就予對手田忌可乘之機,排一個避重就輕的好陣,取得三盤兩勝的佳績。其實齊威王的最佳策略,就是把出場次序保密,這樣他就有5/6機會贏得賭局(對數學有興趣讀者,不妨來個證明。)

言歸選舉。這次選舉中的超級議席,共有 5個席位,主要候選人泛民、建制各三(分別為涂謹申、馮檢基、何俊仁、陳婉嫻、李慧瓊及劉江華)。六人之中,必定有一人出局,其他人只是陪跑,得票多少,無關痛癢,故【表】只列出6人所得票數。

【泛民建制如齊王鬥田忌】

博弈的雙方,目標都是要取得3席,就像齊威王和田忌的較量一樣,誰可取得3席,取決於一、雙方的實力,及二、雙方的策略。這堛熊曳丑A不是上中下馬的排陣,而是坊間議論得沸沸揚揚的「配票」策略。

先看實力。泛民共得80.7萬多票,建制共得72.3萬多票,比例為52.8比47.2,打破了傳統的60比40的慣性比例【註】,建制派由落後20個百分點縮窄到6個百分點。雖然如此,泛民還是實力較優的齊威王,而建制派則是處於下風的田忌。

討論過實力後,又怎能不考慮策略呢?我們首先問一個問題︰「實力佔上風的泛民,假如擁有完美的配票能力的話,應如何配票?」答案非常簡單︰只要泛民三子有相同的票數,就可穩取3席,所以泛民要爭取的是︰盡量縮少三人票數差距,差距愈少,取得3席的機會愈大。

建制派雖然實力稍遜,但深知泛民不一定能把得票差距收得很窄,故仍有一線生機。他們知道︰如果建制三人內每人票數相等,那麼三人就有機會擊敗得票最少的泛民候選人。試看表中,建制如果把所得總票數,平均分給三人,每人可得241023票,比何俊仁的228840票為多。如果真是如此,實力較差者仍可像田忌一樣,擊敗實力佔優的齊威王。

【標準差證配票能力相近】

由於以上的考慮,建制派努力的配票目標,也是要縮小自己人得票的差距,這目標竟與泛民不謀而合。但選舉的結果顯示,建制派的配票能力有限,李慧瓊取得27.7萬票,遠多於劉江華的19.9萬票,劉江華因而敗選。建制派的配票能力不夠理想,但涂謹申得票也遠多於何俊仁,所以泛民的配票能力也好不到那堨h。

但究竟誰的配票能力較高呢?要解決這個問題,就需要較深入的分析,首先是要把「配票能力」加以量化。

試想想,假如三人中每人都取得33.33%的選票,「配票能力」趨近完美,但如3個百分比很是分散,「配票能力」就偏低。統計學告訴我們,要量度一堆數字的分散度,最佳莫如計算這堆數字的標準差。由是故之,「配票能力」可用3個百分比的標準差去量度︰標準差愈少,「配票能力」越高;標準差等於零,「配票能力」就無懈可擊了。

讓我們計算泛民三子的「配票能力」吧。三人得票率(39.19%、32.47%、28.34%)之標準差為5.48%;建制三人組得票率(38.33%、34.05%、27.62%)之標準差為5.39%;相比之下,建制派之「配票能力」稍勝泛民,但相差極微。

有論者認為建制派有阿爺相助,配票易如反掌,但這說法在數字面前,很難站得住腳。筆者做了一個計算,假若建制派的「配票能力」能夠由5.39%,進步到1.70%,而泛民的「配票能力」維持於5.48%不變,那建制派就很有機會,全取3席。但要把標準差縮小至1.7%,又是談何容易呢?

本欄提議用得票率之標準差去量度「配票能力」,對財經版的讀者來說,應該會引起一點聯想︰馬可維茨(Markowitz)不正是用投資回報率去量度投資風險嗎?以此為基礎的組合理論,更為他贏得了經濟學的諾貝爾獎。

在投資領域,平均值代表回報優劣,標準差代表投資風險。在選舉中,總得票率代表實力高低,得票率之標準差代表「配票能力」,同一對的統計概念——平均值及標準差,竟在不同的應用領域中出現,統計學之為用,大矣哉!

註:友人指出,由於人民力量鼓吹投白票,所以泛民之得票率,有被低估的可能,筆者相信把這因素(及其他因素)計入後,比例接近55:45。

轉載自信報「數堥ㄞu章」。作者為浸會大學工商管理學院財務及決策學系榮休教授及香港大學統計及精算學系榮譽教授。

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